循环群

本文内容由简易程序从latex批量转义而来, 排版并不友好, 相对精美版请见课程整理

循环群

定义

• 设 \(G\) 是一个群, 如果 \(G\) 的每一个元素都能写成 \(G\) 的某个元素 \(a\) 的整数次幂的形式, 那么称 \(G\) 为循环群, 称 \(a\) 是 \(G\) 的一个生成元, 并记 \(G=\langle a\rangle\).

定义

• 对于群 \(G\) 中元素 \(a\), 如果存在最小的正整数 \(n\), 使得 \(a^n=e\). 则称 \(a\) 的阶为 \(n\), 记作 \(|a|=n\). 如果不存在这样的 \(n\), 则称 \(a\) 是无限阶元素.

命题

• 有限群 \(G\) 是循环群, 当且仅当 \(\exists\ a\in G,\ s.t.\ |a| = |G|\).

命题

• 设 \(a\in G,\ |a|=n\) 则 $$ a^m = e\Leftrightarrow n\mid m. $$

命题

• 设 \(a\in G,\ |a|=n\) 则 $$ |a^k|=\frac n {(n,k)}. $$

命题

• 若 \(a,b\in G,\ ab=ba,\ |a|=n,|b|=m, (n,m)=1\) 则 \(|ab|=nm\).

命题

• 设 \(G\) 是有限 \(\text{Abel}\)\ 群, 则 \(\exists\ a\in G,\ s.t.\ \forall b \in G,|b|\big| |a|\).

定理

• 设 \(m\) 是大于 \(1\) 的整数, 则 \(\mathbb{Z}_m^*\) 为循环群当且仅当 \(m\) 为下列情形之一: $$ 2,\ 4,\ p^r,\ 2p^r,\quad \text{其中}\ p\ \text{是奇素数},\ r\in\mathbb{N}^* $$

定理

• 有限域 \(F\) 的所有非零元组成的集合 \(F^*\) 对于乘法构成群, 且是循环群.

定义

• 群同构

命题

• 设 \(\sigma\) 是 \(G\) 到 \(\widetilde{G}\) 的一个\(\text{群同构映射}\), 则

  (1) \(\sigma(e)=\widetilde{e}\).
  (2)\(\sigma(a^{-1})=\sigma(a)^{-1}\).
  (3)\(\sigma(a)\) 与 \(a\) 的阶相同.

定理

• (1) 任意一个无限循环群都与 \((\mathbb{Z},+)\) 同构;
  (2) 对于 \(m>1\), 任意一个 \(m\) 阶循环群都与 \((\mathbb{Z}_m,+)\) 同构;
  (3) \(1\) 阶循环群都与加法群 \(\{0\}\) 同构.

定理

• 设 \(m_1,m_2\) 是大于 \(1\) 的整数, 则 \((\mathbb{Z}_{m_1}\oplus\mathbb{Z}_{m_2},+)\) 是循环群当且仅当 \((m_1,m_2)=1\).

• 证明: 若 \(\mathbb{Z}_m^*\) 是循环群, 则 \(\mathbb{Z}_m^*\) 的生成元个数等于 \(\varphi(\varphi(m))\).

证明

• \(|\mathbb{Z}_m^*|=\varphi(m)\), 设 \(a\) 是 \(\mathbb{Z}_m^*\) 的生成元, 那么 \(|a|=\varphi(m)\).
  \则有 \(b=a^k\in\mathbb{Z}_m^*\) 是生成元 \(\Leftrightarrow |a^k|=\varphi(m)\Leftrightarrow \dfrac{\varphi(m)}{(\varphi(m),k)}\Leftrightarrow(\varphi(m),k)=1\).

• 证明: 如果群 \(G\) 的阶为偶数, 那么 \(G\) 必有 \(2\) 阶元.

证明

• 反设 \(G\) 中没有 \(2\) 阶元, 则对于 \(G\) 中每个个非单位元 \(a\) 都有 \(a\neq a^{-1}\). 从而可以将 \(G\) 的元素和对应的逆元两两配对, 也即除去单位元后元素个数为偶数, 所以总个数为奇数矛盾. 故 \(G\) 中有 \(2\) 阶元.